2006年11月10日星期五

律制初步

律制基础

听觉位列五感之一,音乐可以说是人类与生俱来的才能和需要。而音乐作品的创作、乐器的设计和制造,都需要选出特定的几个音作为标准和素材,律制就是为解决这一问题而已产生的。

在很早以前人们就发现,人耳对于音高的比值较为敏感,而对绝对音高则并不敏感。在人类通过研究物理发现“频率”以前,律制通常是借由物体的长度、容积等物理量进行对比的,而现代则多采用频率比。

比值进行比较和运算十分麻烦,需要进行乘除法甚至乘法、开方运算。而当数学发展到对数产生时,律制的计算获得了大幅度的简化。将比值取同一个数为底的对数(例如常用对数),乘除法可简化为加减法,乘方开方运算可简化为乘除法。(对数运算法则可见维基百科

由于对数通常为小数,纪录和书写不便,人们又通过其他手段发展出其他单位来表示音高的比值。最常用的一种叫做音分,将八度音程划分为1200音分。求某个比值相当于多少音分,可比值取常用对数,乘以1200再除以2的常用对数。很明显,“音分”这种单位可以说是专为十二平均律量身定做的。

十二平均律

十二平均律对近代西方音乐起到了非常重要的影响,也是现代音乐使用最为频繁的一种律制。不过十二平均律的发明者却是一个中国人,即明朝郑王世子朱载堉(1536-1611)。他在其著作《律吕精义》中明确记载了十二平均律的计算方法:先对八度音程的比值2开平方得二分一八度音程的比值1.414213562373095048801689,再对结果开平方得四分之一八度音程的比值1.1892071150027210667175,最后对结果开立方得十二分之一八度音程的比值1.059463094359295264561825。已知一个音的频率,求上下一个音的频率,只需要将频率乘或除以十二分之一八度音程的比值即可。以数学的观点来看,朱载堉即是将2开12次方作为公比,将一个八度音程平均分成了12份构成一个等比数列。

现代音乐以十二平均律作为理论基础,将一个八度音程划分为12个半音,2个半音即为一个全音。再将八度音程分为7个音级,每两个音级之间的音程关系为全、全、半、全、全、全、半,这样就构成了现代音乐中所使用的七声音阶。

下表以a1=440Hz为标准,列出了小字一组,小字组和大字组各音的频率:

Hz C D E F G A B
C 65.41 73.42 82.41 87.31 98 110 123.47
c 130.81 146.83 164.81 174.61 196 220 246.94
c1 261.63 293.66 329.63 349.23 392 440 493.88

三分损益律

三分损益律是中国古代的一种律制,最早的记载见于《管子·地员篇》。其也可以说是中国古乐的主宰,即使在十二平均律被发明之后也依然如此。

《管子》中记载了三分损益律的详细生律方法:“凡将起五音,凡首,先主一而三之,四开以合九九,以是生黄钟小素之首以成宫。三分而益之一为百有八,为徵。不无有三分而去其乘,适足以生商。有三分而复于其所,以是成羽。有三分而去其乘,适足以生角。”

这段话的大意是说:宫弦长81寸,三分益一就是乘三分之四,得徵弦长108寸。徵弦三分损一就是乘三分之二,得商弦72寸。商弦再三分益一,得羽弦96寸。羽弦再三分损一得角弦,64寸。

由于弦长与频率成反比,若求两弦的频率比,可通过求弦长倒数之比获得,而通过频率比即可算出音分值,列表如下:

 
弦长 108 96 81 72 64
音分 / 204 204 294 204

由上表可以看出,如徵相当于十二平均律中的C,则徵、羽、宫、商、角约相当于C、D、E、A、B。若以《管子》中的记载为准,“宫”作为音阶中的一个音级使用时,其位置应该是在五音的中央。后世宫、商、角、徵、羽的排列顺序,应该经过了一些变化。

与《管子》年代相近,《吕氏春秋·季夏纪第六·音律》记载了利用三分损益产生十二律的方法:“黄钟生林钟,林钟生太蔟,太蔟生南吕,南吕生姑洗,姑洗生应钟,应钟生蕤宾,蕤宾生大吕,大吕生夷则,夷则生夹钟,夹钟生无射,无射生仲吕。三分所生,益之一分以上生。三分所生,去其一分以下生。黄钟、大吕、太蔟、夹钟、姑洗、仲吕、蕤宾为上,林钟、夷则、南吕、无射、应钟为下。”

以黄钟为首,应钟为尾,首尾相连就可以看出,原音律与相生的音律,起止相隔八个音律,所以三分损益生十二律又有“隔八相生”的名称。

纯律

各种乐器发出的声音都不是一个单音,而是一个复合音。除了一个音量最大最容易被注意到的基音之外,还有一系列的泛音。而乐器的音色,就跟泛音的多寡和相对强度有非常重要的关系。以琴弦为例,整根弦整体振动所发出的就是基音。而琴弦的1/2、1/3,也作为一个相对独立的发音体在振动发声,这就产生了泛音。

泛音在物理上叫分音,电磁学中叫谐波。根据现代科学的研究发现,泛音的频率符合一个简单的数学关系,即均为基音频率的整数倍。仍以琴弦为例,弦的振动频率公式为:f=(1/2L)*sqrt(T/m)。其中L为弦长,T为张力,m为弦的质量,sqrt表示求括号内表达式的正平方根。只要弦一定,T和m就一定,我们设某根弦具有如下性质:n=(2/L)*sqrt(T/m),代入公式可得该弦的频率f=1/n。由于频率与弦长成反比,1/2弦的频率即为2/n,1/3弦的频率即为3/n,以此类推。很容易即可发现,琴弦的基音和泛音频率能构成一个等差数列,公差为1/n。

文字不好理解,可试列一张表格。假设有一根弦的振动频率为65.41Hz,即a1=440Hz,按十二平均率算得的大字组C。第一行为基音和泛音的频率;第二行为该频率最接近于十二平均律的一个音名;第三行为该音相对左边一个音的音分值。得表如下:

  基音 泛音1 泛音2 泛音3 泛音4 泛音5 泛音6
频率 65.41 130.81 196.22 261.63 327.03 392.43 457.84
音名 C c g c1 e1 g1 a1
音分 / 1200 702 498 386 316 267

很容易即可发现,基音与泛音1的音程关系是一个完整的八度,而泛音之间也形成了近似于十二平均律的纯五度、大三度等音程关系。这些音程关系都是自然存在的,说是“纯正谐和”的“自然音程”,应该有一定的道理。纯律即是使用这样的简单整数比生律的一种律制。

当音程以比率关系表示时,音程相加则是比值相乘,音程相减则是比值相除。例如大2=纯5减纯4=(3/2)/(4/3)=9/8,依次类推还可以算出大6=纯8减小3=5/3,大7=纯5加大3=15/8。以c1=261.63Hz,我们就可以算出以下表格:

音名 频率比 频率 音分
c1 1 261.63 /
d1 9/8 294.33 204
e1 5/4 327.03 182
f1 4/3 348.83 112
g1 3/2 392.44 204
a1 5/3 436.04 182
b1 15/8 490.55 204

由上表可以看出,纯律中的大二度有204音分和183音分两种。前一种即上文提到的纯5减纯4而得到的9/8,而后一种为纯4减小3而得到的10/9。

附表

三种律制的音程关系比较:

三分损益律
音名 黄钟 大吕 太蔟 夹钟 姑洗 仲吕 蕤宾 林钟 夷则 南吕 无射 应钟
音程 0 114 90 114 90 114 90 90 114 90 114 90
音名              
音程 0   204   204     294   204    
十二平均律
音名 C   D   E F   G   A   B
音程 0   200   200 100   200   200   200
纯律
音名 C   D   E F   G   A   B
音程 0   204   182 112   204   182   204

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